Comment connaître son centre de gravité ?

Le centre de gravité est le point d'application de la résultante des forces de pesanteur s'exerçant sur un corps. Pour un objet soumis uniquement à la gravité, ce point suit une trajectoire parabolique décrite par les équations du mouvement uniformément accéléré. Dans le cas d'un corps articulé comme un plongeur, le centre de gravité correspond au barycentre pondéré des masses des différentes parties du corps. Sa position relative n'est pas fixe et peut se situer en dehors du corps physique, selon la posture adoptée. L'élève utilise le module d'Analyse Cinématique de FizziQ pour étudier le mouvement d'un plongeur à partir d'une vidéo de la bibliothèque, après avoir calibré l'échelle, il doit identifier et pointer sur chaque image la position du centre de gravité de l'athlète, un point qui peut se situer en dehors du corps selon la posture. Par exemple, lorsque le plongeur se recroqueville ou s'étire, son centre de gravité se déplace par rapport à son anatomie, mais la trajectoire globale de ce point reste invariablement parabolique.

Pour connaître son centre de gravité, on commence par déterminer si l'objet est symétrique ou non. Si la courbe plane est symétrique par rapport à Ox, on a y_G = 0. Les coordonnées du centre de gravité d'une courbe plane sont données par x_G = ∫xdl / ∫dl et y_G = ∫ydl / ∫dl. Pour une courbe symétrique, on peut également utiliser les équations x_G = ∫xydx / ∫ydx et y_G = 0. Si l'objet est une aire plane, les coordonnées de son centre de gravité sont x_G = ∫xdA / ∫dA et y_G = ∫ydA / ∫dA. Dans le cas d'un volume de révolution, le centre de gravité se trouve sur l'axe de révolution, et on utilise l'équation x_G = ∫xdV / ∫dV. Pour connaître la position exacte du centre de gravité, il faut intégrer les équations en fonction de la forme et des dimensions de l'objet. Par exemple, pour une demi-sphère, on utilise l'élément de volume dV = π(R^2 - z^2) dz pour calculer z_G = ∫zdv / ∫dv. Le centre de gravité d'un objet peut être déterminé en utilisant les propriétés de symétrie et les équations d'intégration. Les équations du centre de gravité peuvent être simplifiées en fonction de la symétrie de l'objet. Il est essentiel de déterminer la symétrie et la forme de l'objet pour choisir la bonne équation et calculer avec précision la position du centre de gravité. Un exemple de calcul concerne le centre de gravité d'une demi-sphère homogène où l'on utilise l'intégration pour trouver z_G = 3R/8. Dans tous les cas, il est crucial d'appliquer les bonnes équations et de considérer la symétrie pour trouver le centre de gravité. Les centres de gravité peuvent être déterminés pour différentes formes d'objets, allant des courbes planes aux volumes de révolution. Chaque type d'objet nécessite l'utilisation d'équations spécifiques pour calculer avec précision la position de son centre de gravité. Il est donc important de comprendre les propriétés de chaque forme et d'appliquer les équations appropriées pour trouver le centre de gravité. En résumé, pour connaître son centre de gravité, il faut utiliser les équations appropriées en fonction de la forme et de la symétrie de l'objet.

Pour connaître son centre de gravité, il existe un point du plan, noté $G$, et un seul, tel que $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$. On réécrit cette égalité en faisant apparaitre le point $A$ dans les deux derniers vecteurs par la relation de Chasles. Cela devient alors $\overrightarrow{GA} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$ En regroupant les $\overrightarrow{GA}$ on a alors : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ Le point $G$ est situé au $\dfrac{2}{3}$ des médianes du triangle en partant des sommets. Il appartient donc aux trois médianes du triangle, qui sont concourantes en un seul point : c’est donc le centre de gravité $G$. La fonction $f$ est minimale lorsque $M$ est confondu avec le centre de gravité $G$ et elle vaut alors ${GA}^2 + {GB}^2 + {GC}^2$.

Le centre de gravité peut être calculé à l'aide de la formule CoG = (ΣD* W) / ΣW, où CoG représente l'emplacement du centre de gravité. Cette formule consiste à additionner le produit de la distance et du poids, puis à le diviser par la somme de tous les poids. Le centre de gravité est indiqué par des coordonnées. Dans la direction x, la formule peut s'écrire CoGx = (ΣDx* W) / ΣW. De même, dans la direction y, la formule est représentée par CoGy = (ΣDy* W) / ΣW. Le centre de gravité d'un objet peut être mesuré à l'aide d'une balance multi-capteurs, utilisant généralement une balance à quatre ou trois cellules de charge. L'objet est positionné sur la plate-forme de la balance au centre de gravité et le poids de l'objet est mesuré individuellement par les capteurs de pesée situés à chacun des four coins de la balance. Les positions des quatre cellules de pesée par rapport à l'origine sont utilisées pour calculer la somme des moments, qui est ensuite divisée par le poids total de l'objet pour déterminer les coordonnées x et y du centre de gravité. Pour calculer la coordonnée de l'axe x : Axe X = (W1X1 + W2X2 + W3X3 + W4X4)/(W1+W2+W3+W4) Pour calculer la coordonnée de l'axe y : Axe Y = (W1Y1 + W2Y2 + W3Y3 + W4Y4)/(W1+W2+W3+W4) De même, le processus peut être répété après avoir fait pivoter l’objet de 90 degrés pour calculer le centre de gravité dans les 4 autres plans cartésiens. Ce processus itératif garantit une mesure plus précise du centre de gravité.