Qu'est-ce que le cercle d'Euler ?
Franck Benoit
2025-07-12 04:34:03
Nombre de réponses: 11
Le cercle d'Euler d'un triangle est le cercle passant par chacun des milieux des trois côtés du triangle, par le pied de chacune des trois hauteurs du triangle, par le milieu de chacun des trois segments reliant l'orthocentre à un sommet du triangle. De nombreux points remarquables du triangle sont situés sur ce cercle. C'est le mathématicien Leonhard Euler qui a remarqué le premier que dans un triangle ABC le centre de gravité G, le centre du cercle circonscrit Ω et l'orthocentre H sont alignés. Notons I1 le milieu de [BC], I2 le milieu de [AC] et I3 le milieu de [AC]. Il n'est pas difficile de voir que cette même homothétie transforme le triangle ABC en le triangle I1I2I3 et le cercle circonscrit de ABC en cercle circonscrit à I1I2I3, ce dernier cercle est précisément le cercle d'Euler. Comme cette même homothétie transforme chaque hauteur de ABC en l'une de ses médiatrices, on a également que les pieds des hauteurs de ABC sont sur le cercle d'Euler et que chacun des milieux des segments [AH], [BH] et [CH] sont également sur le cercle d'Euler. Le rayon du cercle d'Euler est la moitié du rayon du cercle circonscrit. Son centre est sur la droite d'Euler, on a GH = 2ΩG. Le cercle des 6 points, découvert par Brianchon, Poncelet et Feuerbach, est constitué des milieux des côtés et des pieds des hauteurs du triangle et est cocyclique. Par la suite, Olry Terquem a ajouté à ce cercle les milieux des segments formés par les sommets du triangle et l'orthocentre, le cercle porte depuis le nom de cercle des 9 points.
Lire aussi
- Quels sont les différents types de cercles ?
- Comment faire un rond parfait ?
- Qu'est-ce que la technique du cercle ?
- Comment s'appelle l'outil pour faire des cercles ?
- Quels sont les faits intéressants sur les cercles ?
- Comment bien faire des ronds ?
- Est-il possible de créer un cercle vraiment parfait ?
- Comment faire la méthode du cercle ?