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Qu'est-ce que le cercle d'Euler ?
Georges Peltier
2025-08-02 19:02:28
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: 18
Le cercle d'Euler d'un triangle, aussi appelé cercle des neufs points est le cercle dont l'existence est assurée par la proposition suivante.
Il existe un unique cercle passant par $M_1, M_2, M_3, H_1, H_2, H_3$ ainsi que les milieux de $[HA]$, $[HB]$ et $[HC]$.
Ce cercle est appelé le cercle d'Euler de $ABC$, et son centre se situe sur la droite d'Euler de $ABC$.
Comme les images de $A$, $B$ et $C$ par $h_H$ sont les milieux respectifs de $[AH]$, $[BH]$ et $[CH]$, on en déduit que ces milieux se trouvent sur $\mathcal{C}$.
Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés se trouvent donc tous sur $\Gamma$, ce qui est à nouveau un résultat remarquable.
L'image de $I_2$ par $h_H$ est donc exactement $H_2$, et cela implique que $H_2 \in \mathcal{C}$.
De la même manière, on trouve que $H_1$ et $H_3$ se situent sur $\mathcal{C}$.
Le cercle d'Euler a également la propriété d'être tangent intérieurement au cercle inscrit et tangent extérieurement aux trois cercles exinscrits au triangle.
Honoré Petitjean
2025-07-30 12:12:19
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: 15
Le milieu de [HO] est le centre du cercle d’Euler.
Il est aussi appelé cercle des 9 points car il passe par les trois pieds des hauteurs, les trois pieds des médianes et les milieux des segments joignant l’orthocentre aux sommets du triangle ABC.
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Élisabeth Lenoir
2025-07-22 20:41:26
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: 10
Le cercle d'Euler du triangle est le cercle sur lequel se trouvent les milieux des côtés du triangle $ABC,$ les milieux des segments $[AH],$ $[BH]$ et $[CH],$ où $H$ est l'orthocentre, et les pieds des 3 hauteurs.
Le centre de ce cercle est sur la droite d'Euler : c'est le milieu de $[OH]$ où $O$ est le centre du cercle circonscrit.
Dans ce même triangle, les milieux des côtés du triangle $ABC,$ les milieux des segments $[AH],$ $[BH]$ et $[CH],$ où $H$ est l'orthocentre, et les pieds des 3 hauteurs sont sur un même cercle : le cercle d'Euler du triangle.
Franck Benoit
2025-07-12 04:34:03
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: 22
Le cercle d'Euler d'un triangle est le cercle passant par chacun des milieux des trois côtés du triangle, par le pied de chacune des trois hauteurs du triangle, par le milieu de chacun des trois segments reliant l'orthocentre à un sommet du triangle. De nombreux points remarquables du triangle sont situés sur ce cercle. C'est le mathématicien Leonhard Euler qui a remarqué le premier que dans un triangle ABC le centre de gravité G, le centre du cercle circonscrit Ω et l'orthocentre H sont alignés. Notons I1 le milieu de [BC], I2 le milieu de [AC] et I3 le milieu de [AC]. Il n'est pas difficile de voir que cette même homothétie transforme le triangle ABC en le triangle I1I2I3 et le cercle circonscrit de ABC en cercle circonscrit à I1I2I3, ce dernier cercle est précisément le cercle d'Euler. Comme cette même homothétie transforme chaque hauteur de ABC en l'une de ses médiatrices, on a également que les pieds des hauteurs de ABC sont sur le cercle d'Euler et que chacun des milieux des segments [AH], [BH] et [CH] sont également sur le cercle d'Euler. Le rayon du cercle d'Euler est la moitié du rayon du cercle circonscrit. Son centre est sur la droite d'Euler, on a GH = 2ΩG. Le cercle des 6 points, découvert par Brianchon, Poncelet et Feuerbach, est constitué des milieux des côtés et des pieds des hauteurs du triangle et est cocyclique. Par la suite, Olry Terquem a ajouté à ce cercle les milieux des segments formés par les sommets du triangle et l'orthocentre, le cercle porte depuis le nom de cercle des 9 points.
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