Comment faire le pivot de Gauss ?

La méthode du pivot de Gauss est une méthode directe de résolution de système linéaire qui permet de transformer un système en un autre système équivalent échelonné. On résout le système ainsi obtenu à l’aide d’un algorithme de remontée. Première étape du pivot de Gauss pour éliminer les variables $x_1$ dans les lignes $L_2$ et $L_3$: Seconde étape du pivot de Gauss pour éliminer les variables $x_2$ dans la ligne $L_3$: Algorithme de la méthode du pivot de Gauss: Triangularisation $k=1,\ldots,n-1\left\{ \begin{array}{l|ll} a_{ij}^{(k+1)}=a_{ij}^{(k)}&i=1,\ldots,k & j=1,\ldots,n \\ a_{ij}^{(k+1)}=0 &i=k+1,\ldots,n & j=1,\ldots,k \\ a_{ij}^{(k+1)}=a_{ij}^{(k)}-\displaystyle\frac{a_{ik}^{(k)}a_{kj}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}} & i=k+1,\ldots,n &j=k+1,\ldots,n\\ b_i^{(k+1)}=b_i^{(k)}&i=1,\ldots,k & \\ b_i^{(k+1)}=b_i^{(k)}-\displaystyle\frac{a_{ik}^{(k)}b_{k}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}}&i=k+1,\ldots,n & \end{array}\right.$ Algorithme de la méthode du pivot de Gauss: Remontée et résolution A présent la matrice $A$ du système linéaire est échelonnée, on doit alors résoudre le système triangulaire: $Ux=b^{(n)}$ On utilise alors un algorithme de remontée pour le système $Ux = b^{(n)}$: $\left\{\begin{array}{ll} x_n = \displaystyle\frac{y_n}{u_{nn}}= \displaystyle\frac{y_n}{a^{(n)}_{nn}};& \\ x_i = \displaystyle\frac{1}{u_{ii}}(y_i-\sum_{j=i+1}^{n}u_{ij}x_j)= \displaystyle\frac{1}{a^{(n)}_{ii}}(y_i-\sum_{j=i+1}^{n}a^{(n)}_{ij}x_j) &\forall i=n-1,n-2,\ldots,1. \end{array}\right.$

La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un autre système équivalent qui est échelonné et est donc facile à résoudre. Les opérations autorisées pour transformer ce système sont : échange de deux lignes, multiplication d'une ligne par un nombre non nul, addition d'un multiple d'une ligne à une autre ligne. On conserve la ligne $L_1$, qui sert de pivot pour éliminer l'inconnue $x$ des autres lignes, pour cela, on retire $L_1$ à $L_2$, et 3 fois $L_1$ à $L_3$. On conserve alors la ligne $L_2$ qui sert de pivot pour éliminer $y$ de la troisième ligne, pour cela, on remplace la ligne $L_3$ par $L_3+L_2$. Ce dernier système, triangulaire, est facile à résoudre : la dernière ligne donne $z$, en reportant, la deuxième ligne donne $y$.