Comment calculer la combinaison de p dans n ?

Le nombre de combinaisons d'une partie à p éléments d'un ensemble à n éléments, noté `C_n^p` ou `\large\binom{n}{p}\`, est le nombre de p-parties différentes d'un ensemble de n objets. L'ordre des objets n'intervient pas. On a : `C_n^p = {A_n^p} / {p!} = {n!} / {p!(n − p)!}` n! s'appelle la factorielle n, où n est un entier. Elle est égale au produit de tous les entiers de 1 à n. Par convention : 0! = 1 et 1! = 1 Exemple : 5! = 1×2×3×4×5 = 120 On note n! = 1×2×3×...×(n−1)×n Le nombre `C_n^p` permet de répondre à la question : combien y a-t-il de possibilités différentes de prendre p objets parmi n objets en ne tenant pas compte de l'ordre. Exemple 1 : Combien y a-t-il de mains de 5 cartes dans un jeu de 52 cartes? `C_{52}^5 = {52!} / {5!(52 − 5)!} = {52×51×50×49×48} / {5×4×3×2} = 311875200 / 120 = 2 598 960` Il y a 2 598 960 mains possibles de 5 cartes avec un jeu de 52 cartes. Exemple 2 : Combien y a-t-il de fulls aux Rois par les Dames? Avec 4 rois et 4 dames, quel est le nombre de combinaisons d'un full aux Rois par les Dames. `C_4^3 × C_4^2 = 4 × 6 = 24` Il y a 24 fulls aux Rois par les Dames possibles. La probabilité d'obtenir un full aux Rois par les Dames est donc de `24/{2 598 960}`, soit environ de 0,001%. Exemple 3 : Nombre de combinaison d'un tirage Quel est le nombre de combinaisons possibles pour choisir 5 boules parmi 50 numérotée de 1 à 50, sans remise et sans tenir compte de l'ordre des tirages. Puis choisir 2 boules parmi 12 numérotée de 1 à 12 toujours sans remise et sans tenir compte de l'ordre (cela vous rappelle les règles d'une célèbre loterie). `C_{50}^5 × C_{12}^2 = {50 × 49 × 48 × 47 × 46} / {5 × 4 × 3 × 2} × {12 × 11} / 2 = 2118760 × 66 = 139 838 160` Il y a 139 838 160 combinaisons possibles, soit une chance de gagner sur plus de 139 millions à ce célèbre jeu.

On note $\binom np$ le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$. On a : $$\binom np=\frac{n!}{p!(n-p)!}.$$ Une urne contient n boules numérotée de 1 à n. On tire simultanément p boules de U. Le nombre de tirages possibles vaut le nombre de combinaisons de p éléments parmi n. Si on cherche le nombre de mains de 8 cartes que l'on peut avoir à la belote, on cherche le nombre de combinaisons de 8 cartes parmi 32. Les formules donnant les valeurs du nombre de combinaisons à p éléments dans un ensemble à n éléments sont connues depuis le XII è siècle.

On appelle combinaison de $p$ éléments de $E$ toute collection non ordonnée de $p$ éléments distincts de $E$, ie toute partie de $E$ à $p$ éléments. On note $\binom n p$ le nombre de combinaison de p éléments parmi n. On a : $$\binom np=\frac{n!}{p!(n-p)!}=\frac{n(n-1)\dots(n-p+1)}{p(p-1)\dots 1}.$$ Les 4 propriétés précédentes permettent de calculer de proche en proche tous les coefficients binomiaux. La formule de Pascal : $$\binom np=\binom {n-1}p+\binom {n-1}{p-1}.$$