Comment dénombrer un ensemble fini ?
On appelle cardinal d'un ensemble fini $E$ le nombre d'éléments de $E$. On le note $|E|$, $\#E$ ou En savoir plus
Quelle est la formule de la probabilité de combinaison ?
André Leclercq
2025-06-23 08:02:51
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On note $\binom n p$ le nombre de combinaison de p éléments parmi n.
On a :
$$\binom np=\frac{n!}{p!(n-p)!}=\frac{n(n-1)\dots(n-p+1)}{p(p-1)\dots 1}.$$
Le nombre de tirages possibles vaut le nombre de combinaisons de p éléments parmi n.
La formule de Pascal :
$$\binom np=\binom {n-1}p+\binom {n-1}{p-1}.$$
Les 4 propriétés précédentes permettent de calculer de proche en proche tous les coefficients binomiaux.
La formule du binôme :
$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk x^ky^{n-k}.$$
La formule de Vandermonde :
$$\sum_{k=0}^n \binom ak\binom b{n-k}=\binom {a+b}n.$$
Laure Dumas
2025-06-23 06:49:33
Nombre de réponses
: 17
La formule de combinaison est donnée par \(C_{n}^{k}=\dfrac {n!} {k!\left( n−k\right) !}\).
Le nombre de combinaisons avec répétition ou avec remise est donné par \(K_{n}^{k}=\dfrac {(n+k−1)!} {k!\left( n−1\right) !}\).
Par exemple, pour calculer le nombre de combinaisons des éléments de E pris 2 à la fois, on utilisera la formule \(C_{4}^{2}=\dfrac {4!} {2!\left( 4−2\right) !}\).
S’il y a répétition ou remise, on utilisera la formule \(K_{4}^{2}=\dfrac {(4+2−1)!} {2!\left( 4−1\right) !}\).
Ces formules sont utilisées pour déterminer le nombre de façons de choisir k éléments parmi un ensemble de n éléments.
La formule \(C_{n}^{k}=\dfrac {n!} {k!\left( n−k\right) !}\) est utilisée lorsque l’ordre des éléments n’intervient pas et qu’il n’y a pas de répétition.
La formule \(K_{n}^{k}=\dfrac {(n+k−1)!} {k!\left( n−1\right) !}\) est utilisée lorsque les répétitions sont autorisées et que l’ordre des éléments choisis n’intervient pas.
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