Quelle est la formule de Vandermonde ?
Philippe Leduc
2025-07-20 07:44:53
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: 16
L'identité de Vandermonde, ou formule de Vandermonde, affirme que, pour des entiers naturels, on a où les nombres, avec, sont des coefficients binomiaux.
Les coefficients binomiaux sont non nuls, c'est-à-dire pour.
La formule peut être démontrée de façon algébrique, en utilisant la formule du binôme pour développer de deux façons l'identité polynomiale puis en identifiant les coefficients du terme de degré de chacun des membres de l'égalité.
L'identité de Chu-Vandermonde généralise l'identité de Vandermonde à des valeurs non entières :, qui vient d'une réécriture de la formule du binôme pour les factorielles décroissantes établie par Vandermonde.
Margot Rossi
2025-07-11 21:24:05
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Le déterminant d'une matrice de Vandermonde peut s'exprimer ainsi.
La matrice de Vandermonde se présente ainsi.
Autrement dit, pour tous i et j, le coefficient en ligne i et colonne j est.
Une preuve d'inversibilité plus rapide est cependant de considérer V comme la matrice du système linéaire homogène VX = 0 pour X de composantes x0, …, xn-1.
En introduisant le polynôme, on voit que si X vérifie l'équation VX = 0, alors P admet n racines distinctes, soit plus que son degré.
La matrice de Vandermonde et le calcul de son déterminant sont utilisés en interpolation polynomiale.
La forme factorisée est utilisée par exemple dans l'épreuve de mathématiques de l'agrégation externe 2006, partie I.10.
On considère une matrice V de Vandermonde carrée.
Elle est inversible si et seulement si les αi sont deux à deux distincts.
Si deux coefficients sont identiques, la matrice a deux lignes identiques, donc n'est pas inversible.
Un cas particulier de matrice de Vandermonde apparaît dans la formule de la transformée de Fourier discrète, où les coefficients sont des racines complexes de l'unité.
Margaret Leroux
2025-07-05 04:27:28
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La formule de Vandermonde établit une égalité entre un coefficient binomial et une somme de produits de coefficients binomiaux.
Si \( n, m, p\) sont des entiers avec \( n \le m + p \), alors : \(\displaystyle {{m+p}\choose{n}}=\sum^n_{i=0} {{m}\choose{i}} {{p}\choose{n-i}}\).
La formule de Vandermonde peut être démontrée de manière algébrique en considérant le polynôme \( P=(1+X)^{m+p}=(1+X)^m(1+X)^p \) avec \( (m,p) \in \mathbb{N}^2 \).
\( \text{Premièrement : } (1+X)^{m+p}=\displaystyle \sum_{i=0}^{m+p} {{m+p}\choose{i}} X^i\) (application du binôme de Newton).
D’un côté, nous trouvons \( \displaystyle {{m+p}\choose{n}}\) et de l’autre, \( \displaystyle \sum_{i=0}^n {{m}\choose{i}} {{p}\choose{n-i}}\).
Or, les coefficients d’un polynôme sont uniques.
D’où : \( \fbox{\(\displaystyle {{m+p}\choose{n}}=\sum^n_{i=0} {{m}\choose{i}} {{p}\choose{n-i}}\)} \).
Le coefficient binomial \( \displaystyle {{m+p}\choose{n}} \) représente le nombre de façons de choisir \(n\) éléments distincts dans \(E\).
En effet, considérons un sous-ensemble de \(E\), qu’on notera \(M\) (avec \(m\) éléments), et son complémentaire, qu’on notera \(P\) (avec \(p\) éléments).
Nous pouvons fixer \(i\) dans \([\![0,m+p]\!]\) et choisir d’abord \(i\) éléments dans \(M\), puis \(n-i\) éléments dans \(P\).
Ainsi, le nombre de façons de choisir \(n\) éléments distincts dans \(E\) vaut \( \displaystyle \sum_{i=0}^n {{m}\choose{i}} {{p}\choose{n-i}}\).
D’où : \( \fbox{\(\displaystyle {{m+p}\choose{n}}=\sum^n_{i=0} {{m}\choose{i}} {{p}\choose{n-i}}\)} \).
Gérard Pelletier
2025-06-23 14:09:02
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Il vaut
V(a_1,\dots,a_n)=\prod_{1\leq i
Margot Delmas
2025-06-23 11:06:52
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: 11
La formule de Vandermonde est donnée par l'équation $$\binom{a+b}n=\sum_{k=0}^n\binom ak\binom b{n-k}.$$
Cette formule est valable lorsque $a,b,n$ sont des entiers naturels avec $n\leq a+b$.
La formule de Vandermonde est liée au théorème du dénombrement dans les mathématiques discrètes.
Cela concerne les combinaisons et le coefficient binomial.
Le coefficient binomial est noté $\binom{a}{k}$ et représente le nombre de façons de choisir k éléments parmi a éléments.
La formule de Vandermonde est utilisée pour calculer le coefficient binomial d'une somme.
Elle s'applique aux situations où l'on a deux ensembles d'éléments et que l'on souhaite trouver le nombre de façons de choisir un certain nombre d'éléments parmi l'ensemble total.
Cette formule est attribuée à Alexandre-Théophile Vandermonde.
Astrid Brunel
2025-06-23 09:31:41
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La formule de Vandermonde est la suivante :
$$\sum_{k=0}^n \binom ak\binom b{n-k}=\binom {a+b}n.$$
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