Quelle est la formule de Vandermonde en combinatoire ?
Françoise Lefevre
2025-07-01 10:08:22
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: 12
L'identité de Vandermonde, ou formule de Vandermonde, affirme que, pour des entiers naturels , on a où les nombres , avec , sont des coefficients binomiaux, c'est-à-dire que si et si .
Les contributions non nulles à la somme de droite proviennent des valeurs de j pour lesquelles les coefficients binomiaux sont non nuls, c'est-à-dire pour .
Le cas donne l'expression suivante du coefficient binomial central : .
L'identité de Chu-Vandermonde — du nom de Vandermonde et du mathématicien chinois Zhu Shijie — généralise l'identité de Vandermonde à des valeurs non entières : , qui vient d'une réécriture de la formule du binôme pour les factorielles décroissantes établie par Vandermonde.
Catherine Bernier
2025-06-23 13:24:43
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: 13
La formule de Vandermonde expliquée est une égalité entre un coefficient binomial et une somme de produits de coefficients binomiaux.
La formule Si \( n, m, p\) sont des entiers avec \( n \le m + p \), alors : \(\displaystyle {{m+p}\choose{n}}=\sum^n_{i=0} {{m}\choose{i}} {{p}\choose{n-i}}\).
Le coefficient binomial \( \displaystyle {{m+p}\choose{n}} \) représente le nombre de façons de choisir \(n\) éléments distincts dans \(E\).
Cependant, nous pouvons calculer le nombre de façons de choisir \(n\) éléments distincts dans \(E\) avec une autre méthode.
En effet, considérons un sous-ensemble de \(E\), qu’on notera \(M\) (avec \(m\) éléments), et son complémentaire, qu’on notera \(P\) (avec \(p\) éléments).
Nous pouvons fixer \(i\) dans \([\![0,m+p]\!]\) et choisir d’abord \(i\) éléments dans \(M\), puis \(n-i\) éléments dans \(P\).
Ainsi, le nombre de façons de choisir \(n\) éléments distincts dans \(E\) vaut \( \displaystyle \sum_{i=0}^n {{m}\choose{i}} {{p}\choose{n-i}}\).
D’où : \( \displaystyle {{m+p}\choose{n}}=\sum^n_{i=0} {{m}\choose{i}} {{p}\choose{n-i}}\).
Patricia Daniel
2025-06-23 12:30:11
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Si $a,b,n$ sont des entiers naturels avec $n\leq a+b$, alors :
$$\binom{a+b}n=\sum_{k=0}^n\binom ak\binom b{n-k}.$$
Geneviève Laine
2025-06-23 08:06:34
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La formule de Vandermonde est la suivante : $$\sum_{k=0}^n \binom ak\binom b{n-k}=\binom {a+b}n.$$
Cela représente une identité importante en combinatoire, qui relie les coefficients binomiaux.
Elle est utile pour divers calculs et démonstrations impliquant des combinaisons.
Cette identité est nommée d'après Alexandre-Théophile Vandermonde.
La formule de Vandermonde est utilisée pour calculer des sommes impliquant des coefficients binomiaux.
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