Quelle est la formule de Vandermonde en combinatoire ?
Catherine Bernier
2025-06-23 13:24:43
Nombre de réponses: 6
La formule de Vandermonde expliquée est une égalité entre un coefficient binomial et une somme de produits de coefficients binomiaux.
La formule Si \( n, m, p\) sont des entiers avec \( n \le m + p \), alors : \(\displaystyle {{m+p}\choose{n}}=\sum^n_{i=0} {{m}\choose{i}} {{p}\choose{n-i}}\).
Le coefficient binomial \( \displaystyle {{m+p}\choose{n}} \) représente le nombre de façons de choisir \(n\) éléments distincts dans \(E\).
Cependant, nous pouvons calculer le nombre de façons de choisir \(n\) éléments distincts dans \(E\) avec une autre méthode.
En effet, considérons un sous-ensemble de \(E\), qu’on notera \(M\) (avec \(m\) éléments), et son complémentaire, qu’on notera \(P\) (avec \(p\) éléments).
Nous pouvons fixer \(i\) dans \([\![0,m+p]\!]\) et choisir d’abord \(i\) éléments dans \(M\), puis \(n-i\) éléments dans \(P\).
Ainsi, le nombre de façons de choisir \(n\) éléments distincts dans \(E\) vaut \( \displaystyle \sum_{i=0}^n {{m}\choose{i}} {{p}\choose{n-i}}\).
D’où : \( \displaystyle {{m+p}\choose{n}}=\sum^n_{i=0} {{m}\choose{i}} {{p}\choose{n-i}}\).
Patricia Daniel
2025-06-23 12:30:11
Nombre de réponses: 4
Si $a,b,n$ sont des entiers naturels avec $n\leq a+b$, alors :
$$\binom{a+b}n=\sum_{k=0}^n\binom ak\binom b{n-k}.$$
Geneviève Laine
2025-06-23 08:06:34
Nombre de réponses: 7
La formule de Vandermonde est la suivante : $$\sum_{k=0}^n \binom ak\binom b{n-k}=\binom {a+b}n.$$
Cela représente une identité importante en combinatoire, qui relie les coefficients binomiaux.
Elle est utile pour divers calculs et démonstrations impliquant des combinaisons.
Cette identité est nommée d'après Alexandre-Théophile Vandermonde.
La formule de Vandermonde est utilisée pour calculer des sommes impliquant des coefficients binomiaux.
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