Comment calculer une combinaison en dénombrement ?
Roger Fournier
2025-07-03 08:16:43
Nombre de réponses
: 14
On appelle combinaison de $p$ éléments de $E$ toute collection non ordonnée de $p$ éléments distincts de $E$, ie toute partie de $E$ à $p$ éléments.
On note $\binom np$ le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$.
On a : $$\binom np=\frac{n!}{p!(n-p)!}.$$
Le nombre de tirages possibles vaut le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$.
Si on cherche le nombre de mains de 8 cartes que l'on peut avoir à la belote, on cherche le nombre de combinaisons de 8 cartes parmi 32.
La main (7 de coeur - valet de trèfle...) est en effet identique à la main (valet de trèfle, 7 de coeur,...)
Sabine Bazin
2025-06-23 07:28:50
Nombre de réponses
: 15
Le nombre de combinaisons de $k$ objets parmi $n$ (avec $0 \leq k \leq n$) est donné par $$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}.$$
Cela revient à d'abord les choisir sans tenir compte de l'ordre puis à les ordonner.
Une fois qu'ils sont choisis, il y a bien sûr $k!$ façons de les ordonner, ce qui signifie que $A^k_n = C^k_n \cdot k!$ et nous donne directement la formule $$C_n^k = \frac{A^k_n}{k!} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}.$$
La démonstration précédente devrait donner l'intuition qu'il s'agit d'une combinaison sans répétition.
Le nombre de combinaisons avec répétitions de $k$ objets parmi $n$ est donné par $$D_n^k = C_{n+k-1}^{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}.$$
Choisir $k$ objets parmi $n$, avec répétitions possibles, revient à décider combien d'objets du premier type nous allons prendre (disons $x_1$), combien du deuxième type (disons $x_2$), ... et combien du $n^\text{ème}$ type (disons $x_n$).
Cela signifie qu'il y a autant de combinaisons que de telles suites de symboles, et trouver le nombre de combinaisons revient juste à compter le nombre de suites de $n+k-1$ symboles : $k$ symboles "o" et $n-1$ symboles "|".
Or, cela revient simplement à choisir à quels endroits on place les $k$ symboles "o", et il y a $C^{k}_{n+k-1}$ tels choix possibles.
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