C'est quoi la méthode de point fixe ?
Martin Hamel
2025-07-21 18:31:57
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La méthode de point fixe est utilisée pour trouver les points fixes d'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$. Un point $\gamma\in E$ est un point fixe de $f$ si $f(\gamma)=\gamma.$
La recherche des points fixes est souvent liée à l'étude des suites récurrentes : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to I$ continue.
Soit $(u_n)$ la suite définie par le choix de $u_0\in I$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$.
Alors si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell=f(\ell)$.
On dit que le point fixe $\ell$ est attractif si $|f'(\ell)|<1.$
Le comportement des suites récurrentes définies par $u_0\in I$ (et même $u_0$ "proche de" $\ell$) et $u_{n+1}=f(u_n)$ dépend de $f'(\ell).$
On dit qu'on a affaire à une convergence en escalier.
Cette fois, la suite n'est plus monotone, mais les deux suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones de signe de monotonie opposés.
On dit qu'on a affaire à une convergence en colimaçon.
Isabelle Fernandes
2025-07-11 19:24:21
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La méthode de point fixe est une méthode numérique qui utilise une suite itérative pour résoudre l'équation f(x) = x.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b] de , et à valeurs dans I.
On s'intéresse à la suite un+1 = f(un), u0 I.
Supposons que un converge vers une limite l I lorsque n + , alors la limite doit vérifier f(l) = l puisque f est continue.
On dit que l est un point fixe de f.
Ceci amène à l'idée d'utiliser ces suites pour résoudre numériquement l'équation f(x) = x.
On a alors le Théorème 1 (du point fixe) : si f est contractante de I = [a, b] dans I de rapport k alors la suite converge vers l'unique solution de f(l) = l dans I.
Claude Pineau
2025-07-11 15:31:29
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La méthode de point fixe n'est pas explicitement définie dans le texte fourni. Cependant, on peut déduire que la méthode de point fixe est liée à l'étude des points fixes d'une fonction et de leur relation avec la limite d'une suite définie par récurrence.
Soit \(f\) une fonction définie et continue sur un intervalle stable \(I\). On appelle « point fixe » tout \(x \in I\) tel que \(f(x)=x\).
L’étude des points fixes est la plupart du temps liée à l’étude de la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n)\).
Pour montrer qu’un point fixe est une limite, on résout l’équation \(f(x)=x\), on imagine que \(\forall n in \mathbb{N}, u_n \in I\) et que \(I\) ne contient qu’un point fixe noté \(x_1\), et on conjecture que \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) tend vers \(x_1\).
On s’appuie ensuite sur la propriété de continuité de la limite et l’inégalité des accroissements finis pour montrer que la limite de la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est bien \(x_1\).
La méthode implique donc l’étude des points fixes, la résolution de l’équation \(f(x)=x\), et l’utilisation de propriétés telles que la continuité et l’inégalité des accroissements finis pour déterminer la limite d’une suite.
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