Quelle est la thèse de la théorie du point fixe ?

La thèse du point fixe est utilisée pour montrer la non-vacuité du coeur d'une économie contenant un nombre fini d'agents possédant des préférences générales. Le cadre de base du chapitre 1 est une économie où l'espace des biens est un espace vectoriel topologique séparé. Nous établissons un résultat général de non-vacuité du coeur répliqué d'une économie abstraite via des hypothèses directement exprimées à partir d'ensembles abstraits d'allocations réalisables. Les ensembles des allocations réalisables pour les coalitions et pour l'économie sont définis de manière abstraite pour que le même résultat puisse être utilisé dans divers modèles tels que l'économie d'échange, les économies de production, et aussi les économies avec information asymétrique où l'incertitude est représentée par un ensemble fini d'états de la nature. Cependant, quand l'ensemble des états dans une économie avec information asymétrique devient un continuum, le précédent corollaire n'est plus valable, l'espace des biens contingents n'étant plus un espace vectoriel topologique séparé. Au chapitre 2, on démontre la non-vacuité du coeur privé d'une économie avec information asymétrique où l'espace des biens est un treillis de Banach, et l'espace des biens contingents est l'ensemble des fonctions mesurables Bochner intégrables. Au chapitre 3, on fournit une preuve directe de la non-vacuité du coeur d'une économie d'échange avec information asymétrique contenant un nombre fini de biens, et où l'espace des biens contingents est l'ensemble des fonctions mesurables essentiellement bornées.

Un théorème du point fixe donne des conditions suffisantes d’existence d’un point fixe pour une fonction ou une famille de fonctions. Les conditions peuvent porter sur la structure de l’ensemble de définition ou sur les propriétés locales ou globales de la fonction. La fonction cosinus définie de l'intervalle [–1, 1] sur lui-même, est continue : elle doit donc y posséder un point fixe. Le théorème du point fixe de Banach donne un critère général dans les espaces métriques complets pour assurer que le procédé d'itération d'une fonction tende vers un point fixe. Très différent, le théorème du point fixe de Brouwer n'est pas constructif : il garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction continue définie de la boule unité fermée euclidienne sur elle-même sans apporter de méthode générale pour le trouver. Le théorème du point fixe de Brouwer, qui généralise en dimension quelconque la propriété d’existence d’un point fixe pour une fonction continue d’un segment dans lui-même, propriété découlant du théorème des valeurs intermédiaires. Le théorème du point fixe de Kakutani. Le théorème du point fixe de Lefschetz, qui donne une information supplémentaire sur le dénombrement des points fixes. Le théorème du point fixe de Schauder. Le théorème du point fixe de Markov-Kakutani. Certains de ces théorèmes fournissent même un processus itératif permettant d’approcher un tel point fixe. Étant donné un ensemble E et une famille de fonctions f définies sur E et à valeurs dans E, ces théorèmes permettent de justifier qu’il existe un élément x de E tel que pour toutes les fonctions considérées on ait.