Quelle est la loi des points fixes ?
Bertrand Chevallier
2025-08-09 10:13:19
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: 18
Un point fixe de f est une valeur d’annulation de φ.
Un point fixe d’une fonction f est une solution de l’équation f(x)=x.
Si ∀x∈ℝ,g(x)>0 alors f(x)>x→x→+∞+∞ ce qui est absurde puisque lim+∞f=infℝf.
Si ∀x∈ℝ,g(x)<0 alors f(x)<x→x→-∞-∞ ce qui est absurde puisque lim-∞f=supℝf.
Puisque g est continue et qu’elle prend des valeurs inférieures et supérieures à 1, on peut affirmer par le théorème des valeurs intermédiaires qu’il existe α∈ℝ+* tel que g(α)=1 d’où f(α)=α.
g est strictement décroissante donc injective et ne peut donc s’annuler qu’au plus une fois.
Si f(0)=0 alors α=0 convient.
La fonction g est définie et continue sur ℝ+.
Charles Arnaud
2025-08-05 10:59:01
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: 11
La loi des points fixes est la suivante : Si on montre que u_n converge et si f est continue, alors la limite u vérifie la relation suivante : f(u) = u.
On cherche à résoudre l'équation f(u) = u pour trouver les éventuelles limites.
Si deux limites existent, un raisonnement simple permet d'en éliminer une.
Soit u_n une suite définie par la relation de récurrence u_n+1 = f(u_n).
Il est clair que u_n+1 = f(u_n) même suite, excepté pour le premier terme.
On a donc u = f(u).
Patrick Picard
2025-07-30 18:24:00
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: 16
Théorème du point fixe :
Soit ff une fonction définie et continue sur un intervalle II dans lui-même et (un)(u_n) la suite définie par un réel u0∈Iu_0 \in I, et, pour tout entier naturel nn, un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n).
Si (un)(u_n) converge vers l∈Il \in I, alors ll est solution de l’équation f(x)=xf(x) = x.
On considère une fonction définie et continue sur un intervalle II et à valeurs dans II.
Soit (un)(u_n) une suite d’éléments de II convergeant vers un réel l∈Il \in I.
On sait que, d’après la propriété de B :
limn→+∞un=limn→+∞un+1=l
Ainsi :
limn→+∞un+1=limn→+∞f(un)=f(limn→+∞un)=f(l)
d’où f(l)=l
f(l) = l.
Émilie Etienne
2025-07-19 02:22:49
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Si une suite vérifiant la relation de récurrence \(\displaystyle{u_{n+1}=\phi(u_n)}\) est convergente et a pour limite \(l\) et si \(\phi\) est continue en \(l\), on a alors : \(\displaystyle{l=\phi(l)}\).
Un tel point \(l\) est dit point fixe de \(\phi\).
Un point fixe, de coordonnées \((l,l)\), est point d'intersection du graphe et de la première bissectrice.
Si la fonction continue \(\phi\) n'a pas de point fixe alors une suite, qui vérifie la relation \(\displaystyle{u_{n+1}=\phi(u_n)}\) , ne peut avoir de limite.
Matthieu Bourdon
2025-07-11 19:32:48
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: 11
Soit \(f\) une fonction définie et continue sur un intervalle stable \(I\).
On appelle « point fixe » tout \(x \in I\) tel que \(f(x)=x\).
Graphiquement, il s’agit d’une intersection de la droite d’équation \(y=f(x)\) et de la droite d’équation \(y=x\).
L’étude des points fixes est la plupart du temps liée à l’étude de la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n)\).
Il existe deux types de points fixes que nous allons étudier.
Il ne faut pas oublier de montrer que si \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) admet une limite, celle-ci sera nécessairement égale à \(x_1\).
Roger Descamps
2025-07-11 16:44:49
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: 8
Un théorème du point fixe donne des conditions suffisantes d’existence d’un point fixe pour une fonction ou une famille de fonctions.
Les conditions peuvent porter sur la structure de l’ensemble de définition ou sur les propriétés locales ou globales de la fonction.
Le théorème du point fixe de Banach donne un critère général dans les espaces métriques complets pour assurer que le procédé d'itération d'une fonction tende vers un point fixe.
Le théorème du point fixe de Brouwer n'est pas constructif : il garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction continue définie de la boule unité fermée euclidienne sur elle-même sans apporter de méthode générale pour le trouver, à moins d’utiliser le lemme de Sperner.
Le théorème du point fixe de Brouwer, qui généralise en dimension quelconque la propriété d’existence d’un point fixe pour une fonction continue d’un segment dans lui-même, propriété découlant du théorème des valeurs intermédiaires.
Le théorème du point fixe de Lefschetz, qui donne une information supplémentaire sur le dénombrement des points fixes.
Théorème du point fixe de Markov-Kakutani.
Théorème du point fixe de Schauder.
On trouve aussi une version ensembliste du point fixe dans le théorème du point fixe de Kakutani.
Guy Launay
2025-07-11 16:06:08
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: 13
On dit que $\gamma\in E$ est un point fixe de $f$ si $f(\gamma)=\gamma.$
Si $f$ est définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$, cette propriété se traduit graphiquement par le fait que la courbe représentative de $f$ coupe la droite d'équation $y=x$ en le point $(\gamma,\gamma).$
L'équation $f(x)=x$ s'appelle équation aux limites possibles.
On dit que le point fixe $\ell$ est attractif si $|f'(\ell)|<1.$
On dit qu'il est répulsif si $|f'(\ell)|>1.$
Si $\ell$ est attractif, il existe $k\in [0,1[$ et $\alpha>0$ tel que, pour tout $x\in ]\ell-\alpha,\ell+\alpha[$, $|f'(x)|\leq k.$
Si $\ell$ est répulsif, cette fois, il existe $k>1$ et $\alpha>0$ tel que, pour tout $x\in ]\ell-\alpha,\ell+\alpha[$, $|f'(x)|\geq k.$
Donc si la suite $(u_n)$ s'approche de $\ell$ de sorte que $u_n\in ]\ell-\alpha,\ell+\alpha[,$ l'itération suivante, on a : $|u_{n+1}-\ell|\geq k |u_n-l|\geq |u_n-\ell|,$ et donc on s'écarte de $\ell.$
Le cas où $|f'(\ell)|=1$ peut donner lieu à l'un ou l'autre des comportements précédents.
On montre facilement qu'au voisinage de $\ell$, la suite est monotone, croissante ou décroissante.
On dit qu'on a affaire à une convergence en escalier.
Cette fois, la suite n'est plus monotone, mais les deux suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones de signe de monotonie opposés.
On dit qu'on a affaire à une convergence en colimaçon.
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