Quelle est la formule des points fixes ?
Aimé Guillon
2025-08-11 18:56:44
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: 18
La limite vérifie la relation suivante.
On cherche à résoudre l'équation pour trouver les éventuelles limites.
Si deux limites existent, un raisonnement simple permet d'en éliminer une.
On sait que.
De plus, on sait que est continue, donc, d'après la relation vue en haut.
Soit.
Il est clair que même suite, excepté pour le premier terme.
On a donc.
Aimée Masse
2025-08-02 18:51:12
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: 15
Un théorème du point fixe donne des conditions suffisantes d’existence d’un point fixe pour une fonction ou une famille de fonctions.
Étant donné un ensemble E et une famille de fonctions f définies sur E et à valeurs dans E, ces théorèmes permettent de justifier qu’il existe un élément x de E tel que pour toutes les fonctions considérées on ait.
Certains de ces théorèmes fournissent même un processus itératif permettant d’approcher un tel point fixe.
Les conditions peuvent porter sur la structure de l’ensemble de définition ou sur les propriétés locales ou globales de la fonction.
La fonction cosinus définie de l'intervalle [–1, 1] sur lui-même, est continue, elle doit donc y posséder un point fixe.
Le théorème du point fixe de Banach donne un critère général dans les espaces métriques complets pour assurer que le procédé d'itération d'une fonction tende vers un point fixe.
Le théorème du point fixe de Brouwer n'est pas constructif, il garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction continue définie de la boule unité fermée euclidienne sur elle-même.
Le théorème du point fixe de Brouwer généralise en dimension quelconque la propriété d’existence d’un point fixe pour une fonction continue d’un segment dans lui-même.
Alexandrie Merle
2025-07-31 17:57:27
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: 15
Si (un)(u_n) converge vers l∈Il \in I, alors ll est solution de l’équation f(x)=xf(x) = x.
On sait que, d’après la propriété de B :limn→+∞un=limn→+∞un+1=l\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = l.
Ainsi : limn→+∞un+1=limn→+∞f(un)=f(limn→+∞un)=f(l)\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f\left(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n\right) = f(l).
d’où f(l)=lf(l) = l.
Alexandria Foucher
2025-07-21 10:50:22
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: 17
Un point fixe de f est une valeur d’annulation de φ.
φ est définie par φ(x)=f(x)-x.
Un point fixe d’une fonction f est une solution de l’équation f(x)=x.
Soit g:x↦f(x)-x.
La fonction g est définie par g:x↦f(x)-x.
Soit g:x↦f(x)x.
La fonction g est définie et continue sur ℝ+* et g:x↦f(x)x.
Emmanuel Delahaye
2025-07-11 20:49:56
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: 11
Un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.
Toutes les fonctions n’ont pas nécessairement de point fixe, par exemple, la fonction n’en possède pas, car il n’existe aucun nombre réel x égal à x+1.
Si (un) converge, elle le fait nécessairement vers un point fixe de f.
Il faut noter qu’une telle suite ne converge pas forcément, même si f possède un point fixe.
Un point fixe attractif d’une application f est un point fixe x0 de f tel qu’il existe un voisinage de x0 sur lequel la suite de nombre réels converge vers x0.
Les points fixes attractifs sont un cas particulier du concept mathématique d’attracteur.
Le plus connu est le suivant : Soit E un espace métrique complet muni d’une distance d et une application contractante (c’est-à-dire qu’il existe tel que pour tous , ).
Alors f possède un unique point fixe l.
Ce résultat permet de dire que toute suite de la forme un + 1 = f(un) converge vers l et que , ce qui permet d’avoir une estimation de la vitesse de convergence de la suite.
L’automatique consiste à fabriquer des systèmes qui convergent vers un point fixe (mais réglé arbitrairement par l’opérateur) et qui se nomme le point de consigne.
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