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Qu'est-ce qu'un point fixe stable ?

Philippine Jourdan
Philippine Jourdan
2025-07-11 23:00:19
Nombre de réponses : 13
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Soit \(f\) une fonction définie et continue sur un intervalle stable \(I\) et \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n)\). Soit \(x\) un point fixe de f. On dit que \(x\) est un point fixe attractif si \(\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = x\). Graphiquement, en construisant ta suite, tu verras apparaître cette « forme d’escargot » assez spécifique qui se resserre autour de x, ou alors une « forme d’escaliers » dont les marches deviennent plus petites à mesure qu’elles atteignent le niveau de \(f(x)\). Il ne faut pas oublier de montrer que si \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) admet une limite, celle-ci sera nécessairement égale à \(x_1\). On s’appuie pour cela sur la propriété de continuité de la limite. En effet, si \(\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = l\), alors \(\lim \limits_{n \to +\infty} f(u_n) = f(l)\). Donc, \(f(l)=l\). Donc, \(l\) est un point fixe. Le but est d’encadrer \(|u_n-x_1|\) pour montrer que l’expression tend vers 0.
Léon Rolland
Léon Rolland
2025-07-11 22:51:56
Nombre de réponses : 16
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Un point fixe stable est appelé attractif si $|f'(\ell)|<1$. On dit qu'il est répulsif si $|f'(\ell)|>1$. Si $\ell$ est attractif, il existe $k\in [0,1[$ et $\alpha>0$ tel que, pour tout $x\in ]\ell-\alpha,\ell+\alpha[$, $|f'(x)|\leq k$. En appliquant l'inégalité des accroissements finis, on prouve que si $u_0\in ]\alpha-\ell,\alpha+\ell[,$ alors la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$. Le signe de $f'(\ell)$ influence la façon dont la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$. On montre facilely qu'au voisinage de $\ell$, la suite est monotone, croissante ou décroissante. On dit qu'on a affaire à une convergence en escalier. Cette fois, la suite n'est plus monotone, mais les deux suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones de signe de monotonie opposés. On dit qu'on a affaire à une convergence en colimaçon.
Xavier Martineau
Xavier Martineau
2025-07-11 18:23:53
Nombre de réponses : 9
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Si toutes les valeurs propres ont des parties réelles négatives, le point est stable . Un point d'équilibre est hyperbolique si aucune des valeurs propres n'a de partie réelle nulle. Si au moins une des valeurs propres a une partie réelle négative et au moins une a une partie réelle positive, l'équilibre est un point col et il est instable. Si toutes les valeurs propres sont réelles et ont le même signe, le point est appelé un nœud. Le comportement du système au voisinage de chaque point d’équilibre peut alors être déterminé qualitativement (ou même quantitativement, dans certains cas), en trouvant le(s) vecteur(s) propre(s) associé(s) à chaque valeur propre. Les équilibres peuvent être classés en regardant les signes des valeurs propres de la linéarisation des équations par rapport aux équilibres. Certains puits, sources ou nœuds sont des points d’équilibre. Un point d'équilibre est une solution constante à une équation différentielle. Le point est un point d'équilibre pour l'équation différentielle si pour tout . C'est-à-dire qu'en évaluant la matrice jacobienne à chacun des points d'équilibre du système, puis en trouvant les valeurs propres résultantes, les équilibres peuvent être catégorisés.