Comment utiliser le théorème du point fixe ?
Maggie Grenier
2025-08-07 22:58:37
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Pour utiliser le théorème du point fixe, il faut d’abord montrer que la suite converge, soit parce qu'elle est décroissante et minorée ou croissante et majorée.
Si la suite converge et si la fonction est continue, alors la limite vérifie la relation suivante.
En pratique, on cherche à résoudre l'équation pour trouver les éventuelles limites.
Si deux limites existent, un raisonnement simple permet d'en éliminer une.
On sait que la limite vérifie la relation donnée par la fonction continue.
On a donc la relation suivante : .
Il est clair que même suite, excepté pour le premier terme.
On a donc : .
Laurence Cordier
2025-07-31 15:12:10
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Soient f une fonction continue de I à valeurs dans I et (u_n) une suite définie par son premier terme u_0 et la relation de récurrence u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) pour tout n \in \mathbb{N}.
Si (u_n) converge vers \ell \in \mathrm{I}, alors \ell est une solution de l'équation f(x) = x.
Cela permet de déterminer la limite de (u_n) à l'aide d'une équation.
Cela permet de déterminer la limite de (u_n) à l'aide d'une équation f(x) = x, qui est une équation du type f(x) = k.
Il faut alors démontrer que f est continue sur l'intervalle I, trouver le premier terme u_0 et la relation de récurrence u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) pour tout n \in \mathbb{N}, et déterminer si la suite (u_n) converge vers \ell \in \mathrm{I}.
La fonction f doit être continue sur l'intervalle I et avoir des valeurs dans I.
Il faut également que (u_n) ait un premier terme u_0 et soit définie par la relation de récurrence u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) pour tout n \in \mathbb{N}.
Si (u_n) converge vers \ell \in \mathrm{I}, alors \ell est une solution de l'équation f(x) = x, ce qui permet de déterminer la limite de (u_n) à l'aide de cette équation.
Philippe Godard
2025-07-22 20:47:58
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Les conditions peuvent porter sur la structure de l’ensemble de définition ou sur les propriétés locales ou globales de la fonction.
Certains de ces théorèmes fournissent même un processus itératif permettant d’approcher un tel point fixe.
Le théorème du point fixe de Banach donne un critère général dans les espaces métriques complets pour assurer que le procédé d'itération d'une fonction tende vers un point fixe.
Le théorème du point fixe de Brouwer n'est pas constructif : il garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction continue définie de la boule unité fermée euclidienne sur elle-même sans apporter de méthode générale pour le trouver, à moins d’utiliser le lemme de Sperner.
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
André Faivre
2025-07-11 21:43:56
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Soit ff une fonction définie et continue sur un intervalle II dans lui-même et (un)(u_n) la suite définie par un réel u0∈Iu_0 \in I, et, pour tout entier naturel nn, un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n).
Si (un)(u_n) converge vers l∈Il \in I, alors ll est solution de l’équation f(x)=xf(x) = x.
On considère une fonction définie et continue sur un intervalle II et à valeurs dans II.
Soit (un)(u_n) une suite d’éléments de II convergeant vers un réel l∈Il \in I.
On sait que, d’après la propriété de B :limn→+∞un=limn→+∞un+1=l\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = l.
Ainsi : limn→+∞un+1=limn→+∞f(un)=f(limn→+∞un)=f(l)\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f\left(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n\right) = f(l),
d’où f(l)=lf(l) = l.
Marie Salmon
2025-07-11 20:00:25
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Pour utiliser le théorème du point fixe, il faut d'abord comprendre les propriétés d'un point fixe. Un point $\gamma$ est un point fixe de $f$ si $f(\gamma)=\gamma$. La recherche des points fixes est souvent liée à l'étude des suites récurrentes.
Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell=f(\ell)$.
Le comportement des suites récurrentes définies par $u_0\in I$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ dépend de $f'(\ell)$.
On dit que le point fixe $\ell$ est attractif si $|f'(\ell)|<1$.
Alors si $\ell$ est attractif, il existe $k\in [0,1[$ et $\alpha>0$ tel que, pour tout $x\in ]\ell-\alpha,\ell+\alpha[$, $|f'(x)|\leq k$.
En appliquant l'inégalité des accroissements finis, on prouve que si $u_0\in ]\alpha-\ell,\alpha+\ell[,$ alors la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$.
Le signe de $f'(\ell)$ influence la façon dont la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$.
$f'(\ell)>0$ ou $f'(\ell)<0$.
On montre facilement qu'au voisinage de $\ell$, la suite est monotone, croissante ou décroissante.
On dit qu'on a affaire à une convergence en escalier.
Cette fois, la suite n'est plus monotone, mais les deux suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones de signe de monotonie opposés.
On dit qu'on a affaire à une convergence en colimaçon.
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